Skillnad mellan versioner av "Jonahs lilla seriösa sats"
Eric (diskussion | bidrag) |
Eric (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | '''Jonahs Seriösa Sats''' är den enda seriösa satsen skapad av [[Jonah]]. Den | + | '''Jonahs Seriösa Sats''' är den enda seriösa satsen skapad av [[Jonah]]. Den bevisades nyss. |
== Definitioner == | == Definitioner == | ||
Versionen från 10 januari 2009 kl. 09.51
Jonahs Seriösa Sats är den enda seriösa satsen skapad av Jonah. Den bevisades nyss.
Definitioner
- En tre-dimensionell graf är en punkt-, kant- och regionmängd där varje punkt är en ordnad mängd av tre tal, varje kant är en oordnat mängd av två punkter i grafen och varje region är en kantcykel.
- En "stängd" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att det inte existerar någon väg över regionerna som gör att man når andra sidan av en region.
- En triangulär region är en kantcykel av längd exakt 3.
Satsen
Låt G vara en stängd tre-dimensionell graf med endast triangulära regioner. (Om grafen har andra regioner måste dessa subdivideras först). Jonahs Seriösa sats säger då att antalet regioner i G alltid är jämnt.
Bevis
Satser som är så triviala som Jonahs Seriösa Sats kräver knappt bevis, men för den händelse att läsaren inte orkar tänka erbjuds här ett sådant.
Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger utanför planet. Låt [math]\displaystyle R[/math] och [math]\displaystyle E[/math] vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region begränsas av exakt tre kanter. Alltså gäller
[math]\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|[/math]
Varje kant gränsar till exakt två regioner. Därmed gäller även
[math]\sum_{r \in R} \deg r = 2|E|[/math].
Vi har nu visat att
[math]\displaystyle 3|R| = 2|E|[/math]
Alltså är antalet regioner ett jämnt tal, vilket skulle visas.
