Jonahs lilla sats
Jonahs lilla sats uppkom efter en kvick diskussion som bl.a. innehöll Halloweenebröd ((c) 2006 Jonah Schreiber) där ett intressant aspekt kom upp. Notera, Jonahs lilla sats är ännu inte bevisad och skall därför undvikas att användas. Generellt sett säger Jonahs lilla sats att alla ekvationer eller ekvationssystem kan lösas.
Innehåll
Satsens definition
Jonahs lilla sats säger följande:
Låt x vara ett okänt tal som skall lösas ut ur en ekvation och beräknas, och y vara ett godtyckligt tal sådan att ekvationens lösning gäller, problemet blir då i följande grundform:
[math]\displaystyle x=y (1)[/math]
Jonahs lilla sats säger då att:
[math]\displaystyle \exists x : (1)[/math]
Problem som är under investigation
Dessa problem håller för närvarande av att lösas av mupparna med hjälp av Jonahs lilla sats. Hittills har Jonahs sats fungerat för alla problem utom just dessa, och mupparna vet tyvärr inte varför.
- [math]\displaystyle \cos x = 52[/math]
- [math]\displaystyle 3+x = 2+x[/math] (Har lösts: se nedan)
- [math]\displaystyle 2^x = -2[/math] (Har lösts: se nedan)
Problem som nu har lösts
Ett av problemen ovan, [math]\displaystyle 3+x = 2+x[/math], har nu lösts av Jonah Schreiber själv, skaparen av Jonahs lilla sats. Lösningen följer:
[math]\displaystyle 3+x = 2+x[/math]
Kvadrera båda led.
[math]\displaystyle (3+x)^2 = (2+x)^2[/math]
[math]\displaystyle 9+6x+x^2 = 4+4x+x^2[/math]
[math]\displaystyle 9+6x = 4+4x[/math]
[math]\displaystyle 2x = -5[/math]
[math]\displaystyle x = -\frac{5}{2}[/math]
Provning av lösning ger:
[math]\displaystyle 3- \frac{5}{2} = 2- \frac{5}{2}[/math]
Vilket naturligtvis gäller. QED.
Även den sista ekvationen är nu löst, emellertid så verkar lösningen vara relativt korrekt, vilket motsäger styrker principen bakom Jonahs lilla sats.
Lösning:
[math]\displaystyle 2^x=-2[/math]
Observera att:
[math]\displaystyle e^{\pi i+2 \pi n i}=-1[/math]
Där n är ett godtyckligt heltal.
Multiplicera med 2.
[math]\displaystyle 2e^{\pi i+2 \pi n i}=-2[/math]
[math]\displaystyle e^{ln 2} \cdot e^{\pi i+2 \pi n i}=-2[/math]
[math]\displaystyle e^{ln 2+\pi i+2 \pi n i}=-2[/math]
[math]\displaystyle 2^{log_2(e^{ln 2+\pi i+2 \pi n i})}=-2[/math]
[math]\displaystyle 2^{(ln 2+\pi i+2 \pi n i) \cdot log_2 e }=-2[/math]
Alltså är
[math]\displaystyle x=(ln 2+\pi i+2 \pi n i) \cdot log_2 e=1+{{\pi + 2 \pi n} \over {ln 2}} i[/math]
