Niklas formel

Niklas formel är en mycket enkel och användbar metod för att lösa andragradsekvationer. Den kallas även för den riktigt generella lösningsformeln för andragradsekvationer. Den härleddes av Niklas den yngre på ännu en tråkig Ulflektion.

Formeln

Vi börjar med att betrakta ekvationen:

[math]x \in \mathbb{C}[/math]

[math] a,b,c,d \in \mathbb{R}[/math]

[math]\displaystyle x^{2}+(a+bi)x + (c+di) = 0 [/math]

Niklas formel ger oss alla lösningar till denna ekvation återfinns genom:

[math] p,q \in \mathbb{R}[/math]

[math] x = -\frac{a \pm p}{2} + \frac{b \pm q}{2}i[/math]

[math]\displaystyle q = \sqrt{ -\frac{a^{2} - b^{2} - 4c}{8} + \frac{1}{8} \cdot \sqrt{a^{4} + 14a^{2}b^{2} + 8cb^{2} - 8a^{2}c + b^{4} + 16c^{2} - 64abd + 4d^{2}}} [/math]

[math]\displaystyle p = \frac{ab -2d}{4 \cdot \sqrt{ -\frac{a^{2} - b^{2} - 4c}{8} + \frac{1}{8} \cdot \sqrt{a^{4} + 14a^{2}b^{2} + 8cb^{2} - 8a^{2}c + b^{4} + 16c^{2} - 64abd + 4d^{2}}}}[/math]

Beviset lämnas som en övning åt läsaren.