Godtyckliga tal
Mängden av godtyckliga tal betecknas [math]\displaystyle \mathbb{G}[/math]. Notera att godtyckliga tal inte nödvändigtvis är reella, eller ens komplexa. Exempel på godtyckliga heltal är 2 och 42. Notera att även [math]\displaystyle (5^6)![/math] är godtyckligt. Det är dessutom 17 sidor långt, om man använder godtycklig tecken- och sidstorlek.
Det är ännu inte avgjort om samtliga reella tal är godtyckliga. Det finns ett enkelt sätt att generera godtyckligt många godtyckliga tal: Man väljer dem godtyckligt ett efter ett. Denna algoritm genererar emellertid inte samtliga godtyckliga tal.
Alla godtyckliga tal är inte lika godtyckliga. På mängden av godtyckliga tal definierar vi relationen "[math]\displaystyle x[/math] är godtyckligare än [math]\displaystyle y[/math]". Detta betecknar vi [math]\displaystyle x\sim y[/math].
- Relationen [math]\displaystyle \sim[/math] är inte reflexiv, eftersom inget tal är godtyckligare än sig självt. Därför utläses ibland [math]\displaystyle \sim[/math] som strikt godtyckligare.
- Relationen [math]\displaystyle \sim[/math] är inte symmetrisk, eftersom [math]\displaystyle x[/math] inte kan vara godtyckligare än [math]\displaystyle y[/math] om [math]\displaystyle y[/math] är godtyckligare än [math]\displaystyle x[/math].
- Relationen [math]\displaystyle \sim[/math] är transitiv: Antag att [math]\displaystyle x[/math] är godtyckligare än [math]\displaystyle y[/math] och att [math]\displaystyle y[/math] är godtyckligare än [math]\displaystyle z[/math]. Då gäller naturligtvis att [math]\displaystyle x[/math] är godtyckligare än [math]\displaystyle z[/math].
Man kan definiera en godtycklighetsfunktion [math]\displaystyle g[/math] från [math]\displaystyle \mathbb{G}[/math] till [math]\displaystyle \mathbb{R}[/math], som för varje godtyckligt tal anger dess grad av godtycklighet. För funktionen skall gälla att [math]\displaystyle g(x)\gt g(y)[/math] medför att [math]\displaystyle x\sim y[/math]. Någon standardiserad godtycklighetsfunktion har ännu ej definierats.
