Skillnad mellan versioner av "Niklas formel"
m (7 versioner) |
Schreib (diskussion | bidrag) |
||
| Rad 4: | Rad 4: | ||
Vi börjar med att betrakta ekvationen: | Vi börjar med att betrakta ekvationen: | ||
| − | <math>x \in \ | + | <math>x \in \mathbb{C}</math> |
| − | <math> a,b,c,d \in \ | + | <math> a,b,c,d \in \mathbb{R}</math> |
<math>\displaystyle x^{2}+(a+bi)x + (c+di) = 0 </math> | <math>\displaystyle x^{2}+(a+bi)x + (c+di) = 0 </math> | ||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
Niklas formel ger oss alla lösningar till denna ekvation återfinns genom: | Niklas formel ger oss alla lösningar till denna ekvation återfinns genom: | ||
| − | <math> p,q \in \ | + | <math> p,q \in \mathbb{R}</math> |
<math> x = -\frac{a \pm p}{2} + \frac{b \pm q}{2}i</math> | <math> x = -\frac{a \pm p}{2} + \frac{b \pm q}{2}i</math> | ||
| Rad 22: | Rad 22: | ||
Beviset lämnas som en övning åt läsaren. | Beviset lämnas som en övning åt läsaren. | ||
| + | [[Kategori:Matematik]] | ||
[[Kategori:Satser]] | [[Kategori:Satser]] | ||
Versionen från 18 oktober 2010 kl. 05.48
Niklas formel är en mycket enkel och användbar metod för att lösa andragradsekvationer. Den kallas även för den riktigt generella lösningsformeln för andragradsekvationer. Den härleddes av Niklas den yngre på ännu en tråkig Ulflektion.
Formeln
Vi börjar med att betrakta ekvationen:
[math]x \in \mathbb{C}[/math]
[math] a,b,c,d \in \mathbb{R}[/math]
[math]\displaystyle x^{2}+(a+bi)x + (c+di) = 0 [/math]
Niklas formel ger oss alla lösningar till denna ekvation återfinns genom:
[math] p,q \in \mathbb{R}[/math]
[math] x = -\frac{a \pm p}{2} + \frac{b \pm q}{2}i[/math]
[math]\displaystyle q = \sqrt{ -\frac{a^{2} - b^{2} - 4c}{8} + \frac{1}{8} \cdot \sqrt{a^{4} + 14a^{2}b^{2} + 8cb^{2} - 8a^{2}c + b^{4} + 16c^{2} - 64abd + 4d^{2}}} [/math]
[math]\displaystyle p = \frac{ab -2d}{4 \cdot \sqrt{ -\frac{a^{2} - b^{2} - 4c}{8} + \frac{1}{8} \cdot \sqrt{a^{4} + 14a^{2}b^{2} + 8cb^{2} - 8a^{2}c + b^{4} + 16c^{2} - 64abd + 4d^{2}}}}[/math]
Beviset lämnas som en övning åt läsaren.
