Jonahs lilla seriösa sats

Jonahs lilla seriösa sats är en av de två seriösa satser Jonah har formulerat.

Definitioner

• En tre-dimensionell graf är en hörn-, kant- och regionmängd där varje kant är ett oordnat par av två hörn i grafen och varje region är en kantcykel (men en kantcykel måste inte vara en region). Med en "tre-dimensionell" graf menas att grafen bör observeras och hanteras i rummet istället för i planet då det är lättare att föreställa sig de definitioner och formuleringar som beskrivs nedan.

• En "stängd" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att det inte existerar någon väg över regionerna, där en väg endast får korsa kanterna, som gör att man når andra sidan av en region.

• En "triangulär region" är en region vars kantcykels längd är exakt tre.

• En "tom" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att ingen kant gränsar till 3 eller fler regioner.

• En "komponent" av en tre-dimensionell graf är en mängd hörn som inte är sammanbundna med något annan hörn i grafen.

• [math]\displaystyle \deg r[/math] är graden för regionen [math]\displaystyle r[/math], det vill säga antalet kanter regionens kantcykel har.

Satsen

Låt [math]\displaystyle G[/math] vara en stängd, tom tre-dimensionell graf med endast triangulära regioner. (Om grafen har andra regioner måste dessa subdivideras först). Jonahs Lilla Seriösa sats säger då att antalet regioner för varje komponent i [math]\displaystyle G[/math] alltid är jämnt.

Bevis

Vi avser här bevisa att samtliga av grafens komponenter har ett jämnt antal regioner. Då gäller också att hela grafen har ett jämnt antal regioner. Välj därför en av grafens komponenter.

Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Detta kan vi göra under förutsättningarna att grafen är just stängd och tom. Utvecklingen kommer också att sakna överkorsande kanter. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger i planet, utanför grafen. Låt [math]\displaystyle R[/math] och [math]\displaystyle E[/math] vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region gränsar till exakt tre andra regioner, alltså att varje region har tre kanter. Därför gäller

[math]\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|[/math]

Varje kant gränsar till exakt två regioner. Detta innebär att summerar vi [math]\displaystyle \deg r[/math] för alla [math]r \in R[/math] har vi räknat varje kant två gånger. Därmed gäller även

[math]\sum_{r \in R} \deg r = 2|E|[/math].

Vi har nu visat att

[math]\displaystyle 3|R| = 2|E|[/math]

Alltså är antalet regioner en multipel av två, det vill säga ett jämnt tal, vilket skulle visas.

Se även

Jonahs stora seriösa sats