Medelvärdessatsen
Medelvärdessatsen är en matematisk sats etablerad i matematisk analys. Det som gör satsen så speciell är att den är mycket intuitiv och lätt att inse. I matematisk formulering säger den att om [math]\displaystyle f(x)[/math] är kontinuerlig på [math]\displaystyle [a,b][/math] och deriverbar på [math]\displaystyle (a,b)[/math] så finns det en punkt [math]\displaystyle \xi \in (a,b)[/math] så att [math]\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi) \cdot (b-a)[/math].
Bevis
Det är känt att interntelefoner invänder mot beviset av medelvärdessatsen. Vi föreslår att alla telefoner skall stängas av innan ett sådant bevis genomförs.
Sätt [math]\displaystyle g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)[/math]. Derivering ger [math]\displaystyle g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math]. Applicera nu Rolles Sats - eftersom [math]\displaystyle g(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (a-a)=f(a)=f(b)-f(b)+f(a)}\cdot \frac{b-a}{b-a}=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (b-a)=g(b)[/math] går detta bra. Detta ger att, om vi sätter [math]\displaystyle \xi=x[/math], [math]\displaystyle g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0[/math] vilket är detsamma som att säga [math]\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi) \cdot (b-a)[/math], vilket skulle bevisas.
