Skillnad mellan versioner av "Medelvärdessatsen"
Schreib (diskussion | bidrag) m |
m (Fixade ett fel i <math>) |
||
| Rad 5: | Rad 5: | ||
Det är känt att [[Lärarcitat#Matematik|interntelefoner invänder mot beviset av medelvärdessatsen]]. Vi föreslår att alla telefoner skall stängas av innan ett sådant bevis genomförs. | Det är känt att [[Lärarcitat#Matematik|interntelefoner invänder mot beviset av medelvärdessatsen]]. Vi föreslår att alla telefoner skall stängas av innan ett sådant bevis genomförs. | ||
| − | Sätt <math>\displaystyle g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)</math>. Derivering ger <math>\displaystyle g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>. Applicera nu ''Rolles Sats'' - eftersom <math>\displaystyle g(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (a-a)=f(a)=f(b)-f(b)+f(a) | + | Sätt <math>\displaystyle g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)</math>. Derivering ger <math>\displaystyle g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>. Applicera nu ''Rolles Sats'' - eftersom <math> \displaystyle g(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (a-a)=f(a)=f(b)-f(b)+f(a)\cdot \frac{b-a}{b-a}=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (b-a)=g(b)</math> går detta bra. Detta ger att, om vi sätter <math>\displaystyle \xi=x</math>, <math>\displaystyle g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0</math> vilket är detsamma som att säga <math>\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi) \cdot (b-a)</math>, [[Bevis#Bevisavslutning|vilket skulle bevisas]]. |
[[Kategori:Matematik]] | [[Kategori:Matematik]] | ||
[[Kategori:Satser]] | [[Kategori:Satser]] | ||
Nuvarande version från 7 mars 2015 kl. 16.27
Medelvärdessatsen är en matematisk sats etablerad i matematisk analys. Det som gör satsen så speciell är att den är mycket intuitiv och lätt att inse. I matematisk formulering säger den att om [math]\displaystyle f(x)[/math] är kontinuerlig på [math]\displaystyle [a,b][/math] och deriverbar på [math]\displaystyle (a,b)[/math] så finns det en punkt [math]\displaystyle \xi \in (a,b)[/math] så att [math]\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi) \cdot (b-a)[/math].
Bevis
Det är känt att interntelefoner invänder mot beviset av medelvärdessatsen. Vi föreslår att alla telefoner skall stängas av innan ett sådant bevis genomförs.
Sätt [math]\displaystyle g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (x-a)[/math]. Derivering ger [math]\displaystyle g'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math]. Applicera nu Rolles Sats - eftersom [math] \displaystyle g(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (a-a)=f(a)=f(b)-f(b)+f(a)\cdot \frac{b-a}{b-a}=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (b-a)=g(b)[/math] går detta bra. Detta ger att, om vi sätter [math]\displaystyle \xi=x[/math], [math]\displaystyle g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0[/math] vilket är detsamma som att säga [math]\displaystyle f(b)-f(a)=f'(\xi) \cdot (b-a)[/math], vilket skulle bevisas.
