Kvadratutbrytning

Andreas "Anka" Källberg har uppfunnit ett sätt att förenkla vissa matematiska uttryck. Metoden kallas kvadratutbrytning.

Börja med t.ex: [math]\displaystyle a^2+b^2+c^2[/math]

Detta kan då skrivas som:

[math]\displaystyle ^2(a+b+c)[/math]

Metoden är mycket användbar. Tag till exempel den välkända konjugatregeln:

[math]\displaystyle ^2(a-b)=\displaystyle (a^2-b^2)=(a+b)(a-b)[/math]

[math]\displaystyle ^2=a+b[/math]

Alltså, om [math]\displaystyle a\neq b[/math] så är kvadrat lika med [math]\displaystyle a+b[/math], ett tidigare okänt fenomen. Det ger bland annat

[math]\displaystyle a^2 + b^2 = ^2(a+b) = (a+b)(a+b) = a^2 + b^2 + 2ab[/math]

Vi har nu visat att då [math]a \neq b[/math] gäller [math]\displaystyle 2ab = 0[/math] det vill säga [math] a = 0 \vee b = 0[/math]. Detta är ett högst icketrivialt resultat:

I varje par av godtyckliga tal som inte är lika är det ena talet noll.

Kvadratutbrytningsserien

Kvadratutbrytningsserien är ett fenomen som uppstår när man upprepat antal gånger utför operationer som liknar de ovan. I princip innebär det att man visar att den ändliga summan av två kvadrater, som inte är lika, är oändligt stor.

[math]\displaystyle a^2 + b^2 = ^2(a+b) = (a+b)(a+b) = a^2 + b^2 + 2ab = ^2(a+b)+2ab = a^2 + b^2 + 4ab = ^2(a+b)+4ab = a^2 + b^2 + 6ab = ...[/math]

Det ger i sin tur upphov till följande icketriviala regel:

[math]\displaystyle a=lim_{n\rightarrow \infty}n[/math] där [math]\displaystyle a\gt 0[/math] (eftersom alla positiva tal kan skrivas som summan av två kvadrater).

Alla positiva tal, utom 0, är alltså oändligt stora. Det omformulerar som resultat vissa axiom, med till exempel axiom som resultat:

 Den kortaste sträckan mellan två punkter är en rät linje, som är oändligt lång, om inte punkterna sammanföll från början.