Skillnad mellan versioner av "Jonahs lilla seriösa sats"
Schreib (diskussion | bidrag) m |
Schreib (diskussion | bidrag) m |
||
| (9 mellanliggande versioner av 2 användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | '''Jonahs | + | '''Jonahs lilla seriösa [[sats]]''' är en av de två seriösa satser [[Jonah]] har formulerat. |
== Definitioner == | == Definitioner == | ||
| − | *En tre-dimensionell graf är en hörn-, kant- och regionmängd där varje kant är ett oordnat par av två hörn i grafen och varje region är en kantcykel. | + | *En tre-dimensionell graf är en hörn-, kant- och regionmängd där varje kant är ett oordnat par av två hörn i grafen och varje region är en kantcykel (men en kantcykel måste inte vara en region). Med en "tre-dimensionell" graf menas att grafen bör observeras och hanteras i rummet istället för i planet då det är lättare att föreställa sig de definitioner och formuleringar som beskrivs nedan. |
| − | *En "stängd" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att det inte existerar någon väg över regionerna som gör att man når andra sidan av en region. | + | *En "stängd" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att det inte existerar någon väg över regionerna, där en väg endast får korsa kanterna, som gör att man når andra sidan av en region. |
| − | *En triangulär region är en | + | *En "triangulär region" är en region vars kantcykels längd är exakt tre. |
*En "tom" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att ingen kant gränsar till 3 eller fler regioner. | *En "tom" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att ingen kant gränsar till 3 eller fler regioner. | ||
*En "komponent" av en tre-dimensionell graf är en mängd hörn som inte är sammanbundna med något annan hörn i grafen. | *En "komponent" av en tre-dimensionell graf är en mängd hörn som inte är sammanbundna med något annan hörn i grafen. | ||
| + | |||
| + | *<math>\displaystyle \deg r</math> är graden för regionen <math>\displaystyle r</math>, det vill säga antalet kanter regionens kantcykel har. | ||
== Satsen == | == Satsen == | ||
| − | Låt G vara en stängd, tom tre-dimensionell graf med endast triangulära regioner. ''(Om grafen har andra regioner måste dessa subdivideras först).'' Jonahs Seriösa sats säger då att antalet regioner i G alltid är jämnt. | + | Låt <math>\displaystyle G</math> vara en stängd, tom tre-dimensionell graf med endast triangulära regioner. ''(Om grafen har andra regioner måste dessa subdivideras först).'' Jonahs Lilla Seriösa sats säger då att antalet regioner för varje komponent i <math>\displaystyle G</math> alltid är jämnt. |
| − | == Bevis == | + | == [[Bevis]] == |
Vi avser här bevisa att samtliga av grafens komponenter har ett jämnt antal regioner. Då gäller också att hela grafen har ett jämnt antal regioner. Välj därför en av grafens komponenter. | Vi avser här bevisa att samtliga av grafens komponenter har ett jämnt antal regioner. Då gäller också att hela grafen har ett jämnt antal regioner. Välj därför en av grafens komponenter. | ||
| − | Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Detta kan vi göra under förutsättningarna att grafen är just stängd och tom. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger i planet, utanför grafen. Låt <math>\displaystyle R</math> och <math>\displaystyle E</math> vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region gränsar till exakt tre andra regioner, alltså att varje region har tre kanter. Därför gäller | + | Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Detta kan vi göra under förutsättningarna att grafen är just stängd och tom. Utvecklingen kommer också att sakna överkorsande kanter. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger i planet, utanför grafen. Låt <math>\displaystyle R</math> och <math>\displaystyle E</math> vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region gränsar till exakt tre andra regioner, alltså att varje region har tre kanter. Därför gäller |
<math>\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|</math> | <math>\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|</math> | ||
| Rad 28: | Rad 30: | ||
<math>\sum_{r \in R} \deg r = 2|E|</math>. | <math>\sum_{r \in R} \deg r = 2|E|</math>. | ||
| − | |||
Vi har nu visat att | Vi har nu visat att | ||
| Rad 34: | Rad 35: | ||
<math>\displaystyle 3|R| = 2|E|</math> | <math>\displaystyle 3|R| = 2|E|</math> | ||
| − | Alltså är antalet regioner ett jämnt tal, vilket skulle visas. | + | Alltså är antalet regioner en multipel av två, det vill säga ett jämnt tal, vilket skulle visas. |
== Se även == | == Se även == | ||
| − | [[Jonahs | + | [[Jonahs stora seriösa sats]] |
| − | [[Kategori:Satser]] | + | [[Kategori:Satser]][[Kategori:Matematik]] |
Nuvarande version från 21 oktober 2010 kl. 11.17
Jonahs lilla seriösa sats är en av de två seriösa satser Jonah har formulerat.
Innehåll
Definitioner
- En tre-dimensionell graf är en hörn-, kant- och regionmängd där varje kant är ett oordnat par av två hörn i grafen och varje region är en kantcykel (men en kantcykel måste inte vara en region). Med en "tre-dimensionell" graf menas att grafen bör observeras och hanteras i rummet istället för i planet då det är lättare att föreställa sig de definitioner och formuleringar som beskrivs nedan.
- En "stängd" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att det inte existerar någon väg över regionerna, där en väg endast får korsa kanterna, som gör att man når andra sidan av en region.
- En "triangulär region" är en region vars kantcykels längd är exakt tre.
- En "tom" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att ingen kant gränsar till 3 eller fler regioner.
- En "komponent" av en tre-dimensionell graf är en mängd hörn som inte är sammanbundna med något annan hörn i grafen.
- [math]\displaystyle \deg r[/math] är graden för regionen [math]\displaystyle r[/math], det vill säga antalet kanter regionens kantcykel har.
Satsen
Låt [math]\displaystyle G[/math] vara en stängd, tom tre-dimensionell graf med endast triangulära regioner. (Om grafen har andra regioner måste dessa subdivideras först). Jonahs Lilla Seriösa sats säger då att antalet regioner för varje komponent i [math]\displaystyle G[/math] alltid är jämnt.
Bevis
Vi avser här bevisa att samtliga av grafens komponenter har ett jämnt antal regioner. Då gäller också att hela grafen har ett jämnt antal regioner. Välj därför en av grafens komponenter.
Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Detta kan vi göra under förutsättningarna att grafen är just stängd och tom. Utvecklingen kommer också att sakna överkorsande kanter. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger i planet, utanför grafen. Låt [math]\displaystyle R[/math] och [math]\displaystyle E[/math] vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region gränsar till exakt tre andra regioner, alltså att varje region har tre kanter. Därför gäller
[math]\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|[/math]
Varje kant gränsar till exakt två regioner. Detta innebär att summerar vi [math]\displaystyle \deg r[/math] för alla [math]r \in R[/math] har vi räknat varje kant två gånger. Därmed gäller även
[math]\sum_{r \in R} \deg r = 2|E|[/math].
Vi har nu visat att
[math]\displaystyle 3|R| = 2|E|[/math]
Alltså är antalet regioner en multipel av två, det vill säga ett jämnt tal, vilket skulle visas.
