Skillnad mellan versioner av "Jonahs lilla seriösa sats"
Eric (diskussion | bidrag) |
Schreib (diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
Vi avser här bevisa att samtliga av grafens komponenter har ett jämnt antal regioner. Då gäller också att hela grafen har ett jämnt antal regioner. Välj därför en av grafens komponenter. | Vi avser här bevisa att samtliga av grafens komponenter har ett jämnt antal regioner. Då gäller också att hela grafen har ett jämnt antal regioner. Välj därför en av grafens komponenter. | ||
| − | Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger i planet, utanför grafen. Låt <math>\displaystyle R</math> och <math>\displaystyle E</math> vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region gränsar till exakt tre andra regioner, alltså att varje region har tre kanter. Därför gäller | + | Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Detta kan vi göra under förutsättningarna att grafen är just stängd och tom. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger i planet, utanför grafen. Låt <math>\displaystyle R</math> och <math>\displaystyle E</math> vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region gränsar till exakt tre andra regioner, alltså att varje region har tre kanter. Därför gäller |
<math>\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|</math> | <math>\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|</math> | ||
Versionen från 3 maj 2009 kl. 21.28
Jonahs Seriösa Sats är en av de två seriösa satser Jonah har formulerat.
Innehåll
Definitioner
- En tre-dimensionell graf är en hörn-, kant- och regionmängd där varje kant är ett oordnat par av två hörn i grafen och varje region är en kantcykel.
- En "stängd" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att det inte existerar någon väg över regionerna som gör att man når andra sidan av en region.
- En triangulär region är en kantcykel av längd exakt 3.
- En "tom" tre-dimensionell graf är en tre-dimensionell graf sådan att ingen kant gränsar till 3 eller fler regioner.
- En "komponent" av en tre-dimensionell graf är en mängd hörn som inte är sammanbundna med något annan hörn i grafen.
Satsen
Låt G vara en stängd, tom tre-dimensionell graf med endast triangulära regioner. (Om grafen har andra regioner måste dessa subdivideras först). Jonahs Seriösa sats säger då att antalet regioner i G alltid är jämnt.
Bevis
Vi avser här bevisa att samtliga av grafens komponenter har ett jämnt antal regioner. Då gäller också att hela grafen har ett jämnt antal regioner. Välj därför en av grafens komponenter.
Välj en region och ta bort den. Veckla ut grafen och lägg den i planet. Detta kan vi göra under förutsättningarna att grafen är just stängd och tom. Den borttagna regionen har nu identifierats med den oändliga region som ligger i planet, utanför grafen. Låt [math]\displaystyle R[/math] och [math]\displaystyle E[/math] vara mängden av regioner respektive kanter i den nya grafen. Givet i förutsättningarna är att varje region gränsar till exakt tre andra regioner, alltså att varje region har tre kanter. Därför gäller
[math]\sum_{r \in R} \deg r = 3|R|[/math]
Varje kant gränsar till exakt två regioner. Detta innebär att summerar vi [math]\displaystyle \deg r[/math] för alla [math]r \in R[/math] har vi räknat varje kant två gånger. Därmed gäller även
[math]\sum_{r \in R} \deg r = 2|E|[/math].
Vi har nu visat att
[math]\displaystyle 3|R| = 2|E|[/math]
Alltså är antalet regioner ett jämnt tal, vilket skulle visas.
